数学者「1+2+・・・=-1/12」一般人「ファッ!?」分かりやすく解説!



 

 どうもライターのてけてけです。 

 今日は数学ネタです。

 

 

 「数字は嘘をつかないが、嘘つきは数字を使う」とはよく言ったもので、私生活では騙されないように気を付けましょう。
 

 

 突然ですが、1+2+・・・とやっていくといくつになると思いますか?

 

 まぁ普通は無限ですよね?

 

 しかし、数学者は-1/12だと言い張るのです。

 

 

 今日はこれについて分かりやすく解説したいと思います。

 結論から申しますと、

 これは間違っているといえば、間違っていますし、正しいと言えば正しいです

 (正確にはほとんど間違っています)

 

 

というのも、数学者の1+2+・・・と一般人の1+2+・・・の解釈が違っているからです。

 とりあえず、一般人向けに無理やり証明してみましょう。

 

 

 また、どこがおかしいか考えてみてください。

 まず、

 A=1+2+3+4+・・・

 B=1-1+1-1+・・・

 C=1-2+3-4+・・・

 とします。今回求めたいのはAですね。

 ここで、Bについて考えます。これは1と0を交互に取り続けるので1/2に収束します。

 よって、B=1/2です。

 

 つぎにA-Cを考えてみましょう。

 A= 1+2+3+4+・・・
 C= 1-2+3-4+・・・

 

 となるので、AC=4(1+2+・・・)=4Aとなります。

 

 

 すなわち、A=C/3になります。(この結果を①とします)

 

 

 また、ここで、C+Cを考えます。

 

 計算しやすくするために、項をずらして計算します。

 C= 1 -2 +3 -4   +5 ・・・
 C=     1  -2 +3  -4 ・・・

 

 よって、C+C=2CBと同じになります。すなわち

  2C=B

  C=B/2=1/4となります。

 

 

 これを①に代入して、A=-1/12という結果(題意)が導かれます。。。

 さて、何がインチキだったでしょうか?

 まず、Bが1/2に収束するというのが怪しいです。

 これは、高校数学の数Ⅲをやっていれば分かりますが、収束条件を満たしていないためです。
 
 また、2Cの計算も怪しいです。

 無限和を取り扱うときは、非常に注意が必要で、安易に項をずらして計算するというのは、望ましくないです。

 以上より、題意が間違っていることが分かりました。

 
 
 

 じゃあ、なぜ正しいと言えば正しいのでしょうか?

 
 
      ここで、リーマンのゼータ関数というのを軽く紹介します。

   無題

 この関数は基本的にsは1以上の範囲しか意味を持ちません。(s=1のときは無限に発散します)

 (もしs=-1ならば右辺はAと同じ式になります)

 
 
 しかし、sを解析接続と言う方法を駆使すれば、sの範囲を拡張することができます
 
 
 そこで、拡張したsに対して、s=-1を強引に代入し、色々複雑な計算をすることによって
 
  1+2+・・・=-1/12 という奇妙な結果が得られるのです。
 (私の知識では、導き出せません><)

 

 つまり、こうして得られた結果のこの式はあまり意味がない式です。

 

   またゼータ関数を用いれば、s=0のとき(極限をとると)、形式的には1+1+1+・・・=-1/2という異様な結果も得られます。(正確には極限値)
 
 ですので、最終的な結論は、

基本的には間違いである。しかし、特殊な状況で形式的には成り立っている。しかし、やはり意味は持たない。

 
 
 ということになります。
まとめ
 
 いかがでしたか?

 
 今日は少し難しい話をしてみました~

 
 数学は専門ですが、私の専門は確率・統計で、こちらは分かる範囲で解説してみました。

 
 また、なにか面白いネタがあったら記事にしたいと思います。

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