どうもライターのてけてけです。
今日は数学ネタです。
正直伸びるか分かりませんが、やっていきたいと思います。(笑)
「数字は嘘をつかないが、嘘つきは数字を使う」とはよく言ったもので、私生活では騙されないように気を付けましょう。
突然ですが、１＋２＋・・・とやっていくといくつになると思いますか？
まぁ普通は無限ですよね？(笑)
しかし、数学者は-1/12だと言い張るのです。
今日はこれについて分かりやすく解説したいと思います。
結論から申しますと、
これは間違っているといえば、間違っていますし、正しいと言えば正しいです。(笑)
というのも、数学者の１＋２＋・・・と一般人の１＋２＋・・・の解釈が違っているからです。
とりあえず、一般人向けに無理やり証明してみましょう(笑)
また、どこがおかしいか考えてみてください。
まず、
A=1+2+3+4+・・・
B=1-1+1-1+・・・
C=1-2+3-4+・・・
とします。今回求めたいのはAですね。
ここで、Bについて考えます。これは1と0を交互に取り続けるので1/2に収束します。
よって、B＝1/2です。
つぎにA-Cを考えてみましょう。
A= 1+2+3+4+・・・
C= 1-2+3-4+・・・
となるので、A-C=4(1+2+・・・)=4Aとなります。
すなわち、A=-C/3になります。（この結果を①とします）
また、ここで、C+Cを考えます。
計算しやすくするために、項をずらして計算します。
C= 1 -2 +3 -4 +5 ・・・
C= 1 -2 +3 -4 ・・・
よって、C+C=2CはBと同じになります。すなわち
2C=B
C=B/2=1/4となります。
これを①に代入して、A＝-1/12という結果（題意）が導かれます。。。
さて、何がインチキだったでしょうか？
まず、Bが1/2に収束するというのが怪しいです。
これは、高校数学の数Ⅲをやっていれば分かりますが、収束条件を満たしていないためです。
また、2Cの計算も怪しいです。
無限和を取り扱うときは、非常に注意が必要で、安易に項をずらして計算するというのは、望ましくないです。
以上より、Aが間違っていることが分かりました。
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じゃあ、なぜ正しいと言えば正しいのでしょうか？
ここで、リーマンのゼータ関数というのを軽く紹介します。
この関数は基本的にsは１以上の範囲しか意味を持ちません。（s=1のときは無限に発散します）
（もしs=-1ならば右辺はAと同じ式になります）
しかし、sを解析接続と言う方法を駆使すれば、sの範囲を拡張することができます。
そこで、拡張したsに対して、s=-1を強引に代入し、色々複雑な計算をすることによって
1+2+・・・=-1/12 という奇妙な結果が得られるのです。
（私の知識では、導き出せません><）
またゼータ関数を用いれば、s＝0のとき(極限をとると)、形式的には1+1+1+・・・=-1/2という異様な結果も得られます。(正確には極限値)
ですので、最終的な結論は、
「基本的には間違いである。しかし、特殊な状況で形式的には成り立っている。だがやはり意味は持たない。」
ということになります。
いかがでしたか？
今日は少し難しい話をしてみました～
数学は専門ですが、私の専門は確率・統計で、こちらは分かる範囲で解説してみました。
また、なにか面白いネタがあったら記事にしたいと思います。
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